[Mechanical Vibration] 11. 1자유도 감쇠 시스템의 응답(4) - 임계감쇠운동의 해, The Solution of Critically Damped Motion in Damped Single-Degree-of-Freedom System

3. 임계감쇠운동(critically damped motion)

 

 

감쇠비 제타(ζ)는 1이기 때문에 근호 안은 0이 됩니다. 즉 특성방정식이 중근을 갖는 경우입니다.

 

운동방정식의 해에 람다(λ)를 대입합니다.

 

미분방정식 이론에서 상수계수를 갖는 2차 선형 미분방정식의 특성방정식이 중근을 갖는 경우 다음과 같이 해를 둘 수 있습니다.

 

t를 곱해줘도 이 해는 서로 일차독립이 되기 때문에 운동방정식의 해가 될 수 있습니다.(자세한 내용은 공학수학 교과서를 찾아보시기 바랍니다.)

 

여기에서 시간 t에 대해 미분을 하면,

이제 변위식과 초기식에 초기조건(t=0)을 적용해 보겠습니다.

 

 

따라서 임계감쇠운동에 대핸 최종적인 해는 다음과 같습니다.

 

만약 질량이 100kg, 강성이 225N/m인 시스템에 초기변위가 0 그리고 초기속도는 1, 감쇠비는 1이면, 이 시스템의 응답은 다음과 같습니다. 

 

임계감쇠운동은 진동과 비진동을 구분하는 운동(제타(ζ)가 1이므로)이고, 진동없이 가장 빠르게 정지상태로 복귀하는 진동 시스템입니다.

 

여기까지가 1자유도 감쇠 시스템에 대한 응답 내용입니다. 여기까지 잘 이해하셨다면 큰 산 하나 넘었다고 봐도 무방합니다.