지금까지 어떤 질량 m에 스프링 1개로 연결된 모델을 살펴봤는데, 꼭 스프링이 1개여야만 할까요? 그렇지 않습니다.
스프링이 2개, 3개 ... 등 설계자 마음대로 정할 수 있겠죠.
하지만 질량에 스프링이 많이 연결될수록 해석이 복잡해지므로, 많은 스프링 조합을 하나의 스프링 상수로 환산하는 방법이 있습니다. 이때 여러 스프링 상수를 하나의 스프링 상수로 환산한 값을 '등가 스프링 상수(equivalent spring constant)'라고 부릅니다.
이 등가 스프링 상수는 마치 전기회로의 많은 저항을 하나의 저항값으로 나타내는 등가저항과 비슷한 개념입니다.
우선 병렬로 연결된 스프링 조합을 살펴보죠.
1. 스프링 병렬 조합(springs in parallel)
질량 m인 물체에 스프링 상수가 각각 k1, k2인 스프링이 병렬로 연결되어 있습니다. 이 상태에서 만약에 질량을 정하중F로 아래 방향으로 잡아당긴다고 생각해보죠. 자유물체도로 나타내면 다음과 같습니다.
평형방정식은 다음과 같습니다.
만약 k_eq가 등가 스프링 상수라면 같은 변위량 x에 대해 다음 식을 얻을 수 있습니다.
그리고 위에 두 식을 조합하면 다음과 같습니다.
일반적으로 n개의 병렬로 이루어진 스프링 상수에 대해 다음과 같은 식이 성립합니다.
2. 스프링 직렬 조합(springs in series)
스프링이 직렬로 연결되어 있을때 등가 스프링 상수를 구해봅시다. 아래 그림을 보시죠.
윗 그림의 왼쪽 상태에서 정하중 F를 가했을때 모습이 오른쪽 그림입니다. 윗 그림으로 부터 전체 변위는 다음과 같습니다.
자유물체도로 나타내면,
질량, 스프링요소 1(k1), 스프링요소 2(k2)로 나눠서 고려해보면, 뉴튼의 제 3법칙인 작용-반작용 법칙에 의해 위와 같은 자유물체도를 얻을 수 있습니다.
두 개의 스프링 모두 같은 정하중 F를 받으므로
따라서,
일반적으로 n개의 직렬로 이루어진 스프링 상수에 대해 다음과 같은 식이 성립합니다.
아래 그림을 보시면 등가 스프링 상수를 구하는 과정을 쉽게 이해할 수 있습니다.
※ 윗 그림 (c)에서 (d)로 넘어갈 때, 많은 분들이 직렬인지 병렬인지 헷갈려 하는데, 답은 병렬연결입니다.
아래 그림을 참고하면 이해되리라 봅니다.
그림 (c)에서 질량m인 물체를 아래로 당긴다고 생각하면, 그에 대한 스프링 반력이 둘다 위로 작용합니다.(왜냐하면 질량을 아래로 이동할 때, 위에 있는 스프링은 늘어나니까 위쪽으로 잡아당기는 반력이 생길 것이고, 아래 쪽에 있는 스프링은 압축되니까 위쪽으로 밀어내려는 반력이 생기기 때문이죠.)따라서 이것은 스프링 병렬연결과 동일한 효과를 가집니다.
등가 스프링 상수는 기초적인 진동을 해석할 때 많이 사용하기 때문에 잘 알아둬야겠죠? 여기까지가 기초적인 진동해석에 대한 내용이었습니다.
다음 포스팅부터는 질량에 어떤 힘이 가해졌을 때 나타나는 진동현상에 대해 알아보겠습니다!
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